Lineer olmayan Schrödinger denkleminin tam çözümleri

Abstract

Doğadaki ve disiplinlerarası bilimlerdeki birçok olay matematiksel olarak modellendiğinde, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerle tanımlanır. Genellikle kimyasal, biyolojik ve fiziksel olayların tarifinde kullanılan bu denklemlerin analitik veya kapalı form çözümlerinin bulunması son zamanlarda büyük önem kazanmıştır. Ayrıca bu tür denklemlerin farklı çözümleri olabileceğinden, çözümlerin sınıflandırılması oldukça önemlidir. Uygulamalı matematik, bu denklemlerin çözümleri ve yeni çözüm yöntemleri geliştirmekle ilgilenir. Bu nedenle son yıllarda pek çok araştırmacı lineer olmayan, özellikle kısmi türevli oluşum denklemlerinin soliton çözümleri üzerine yoğunlaşmıştır. Soliton çözümleri hem analitik hem de sayısal olarak elde edildikten sonra, soliton üzerinde çalışmalar hızlanmıştır. Günümüzde ilk kez bir su kanalında gözlenen soliter dalga soliton olarak; akışkanlar mekaniği, temel parçacıklar fiziği, biyofizik gibi birçok fizik alanında kullanılmaktadır. Lineer olmayan Schrödinger denklemi lineer olmayan optiklerde, hidromanyetik ve plazma dalgalarında, katı bir cisimdeki ısı iletiminde, sıvı ile dolu elastik bir tüpteki lineer olmayan dalgalarda, lineer olmayan kararsızlık problemlerinde, piezoelektrik yarı iletkenlerdeki soliter dalga yayılımında görülmektedir. Bu yüksek lisans tez çalışması kapsamında lineer olmayan denklemler için çeşitli tam çözüm yöntemleri tanıtılmıştır ve tanıtılan bu yöntemlerle matematiksel fiziğin önemli denklemlerinden olan lineer olmayan Schrödinger denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir. Bulunan bu çözümler, lineer olmayan Schrödinger denkleminin bilinen çözümlerinden farklıdır.

The partial differential equations are used to model mathematically a variety of phenomena in nature and the transdisciplinary science. In recent years, finding analytic and implicit solution form of these equations which are used generally the description of chemical, biologic and physical phenomena become more of an issue. Moreover, since these type of equations have distinct solutions, the classification of them is quite important. Applied mathematics deal with finding the solutions of these equations and improving new solution methods. For this reason, recently many researchers are concentrated on soliton solutions of the nonlinear partial differential equations, particularly the partial differential evolution equations. After soliton solutions are verified as analytic and numerical, the studies on solitons are picked up. At the present time, the solitary wave which was seen in a water channel for the first time is used as soliton in a lot of physics domain such as fluid mechanics, basis particle physics and biophysics. The nonlinear Schrödinger equation is occured in nonlinear optics, hydromagnetic and plasma waves, heat transfer in a solid, the nonlinear waves in a liquid-filled elastic tube, nonlinear instability problems, solitary wave propagation in the piezoelectric semi- conductors. This master thesis is a scientific work on the exact solutions of the nonlinear Schrödinger equation that is an important equation in mathematical phsysics. Various exact solution methods are introduced and the exact solutions of the nonlinear Schrödinger equation are verified via these methods. The obtained solutions are different from the known solutions of this equation.