Doğadaki ve disiplinlerarası bilimlerdeki birçok olay matematiksel olarak
modellendiğinde, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerle tanımlanır. Genellikle
kimyasal, biyolojik ve fiziksel olayların tarifinde kullanılan bu denklemlerin analitik
veya kapalı form çözümlerinin bulunması son zamanlarda büyük önem kazanmıştır.
Ayrıca bu tür denklemlerin farklı çözümleri olabileceğinden, çözümlerin
sınıflandırılması oldukça önemlidir. Uygulamalı matematik, bu denklemlerin çözümleri
ve yeni çözüm yöntemleri geliştirmekle ilgilenir. Bu nedenle son yıllarda pek çok
araştırmacı lineer olmayan, özellikle kısmi türevli oluşum denklemlerinin soliton
çözümleri üzerine yoğunlaşmıştır.
Soliton çözümleri hem analitik hem de sayısal olarak elde edildikten sonra, soliton
üzerinde çalışmalar hızlanmıştır. Günümüzde ilk kez bir su kanalında gözlenen soliter
dalga soliton olarak; akışkanlar mekaniği, temel parçacıklar fiziği, biyofizik gibi birçok
fizik alanında kullanılmaktadır.
Lineer olmayan Schrödinger denklemi lineer olmayan optiklerde, hidromanyetik ve
plazma dalgalarında, katı bir cisimdeki ısı iletiminde, sıvı ile dolu elastik bir tüpteki
lineer olmayan dalgalarda, lineer olmayan kararsızlık problemlerinde, piezoelektrik yarı
iletkenlerdeki soliter dalga yayılımında görülmektedir.
Bu yüksek lisans tez çalışması kapsamında lineer olmayan denklemler için çeşitli tam
çözüm yöntemleri tanıtılmıştır ve tanıtılan bu yöntemlerle matematiksel fiziğin önemli
denklemlerinden olan lineer olmayan Schrödinger denkleminin tam çözümleri elde
edilmiştir. Bulunan bu çözümler, lineer olmayan Schrödinger denkleminin bilinen
çözümlerinden farklıdır.
The partial differential equations are used to model mathematically a variety of
phenomena in nature and the transdisciplinary science. In recent years, finding analytic
and implicit solution form of these equations which are used generally the description of
chemical, biologic and physical phenomena become more of an issue. Moreover, since
these type of equations have distinct solutions, the classification of them is quite
important. Applied mathematics deal with finding the solutions of these equations and
improving new solution methods. For this reason, recently many researchers are
concentrated on soliton solutions of the nonlinear partial differential equations,
particularly the partial differential evolution equations.
After soliton solutions are verified as analytic and numerical, the studies on solitons
are picked up. At the present time, the solitary wave which was seen in a water channel
for the first time is used as soliton in a lot of physics domain such as fluid mechanics,
basis particle physics and biophysics.
The nonlinear Schrödinger equation is occured in nonlinear optics, hydromagnetic
and plasma waves, heat transfer in a solid, the nonlinear waves in a liquid-filled elastic
tube, nonlinear instability problems, solitary wave propagation in the piezoelectric
semi- conductors.
This master thesis is a scientific work on the exact solutions of the nonlinear
Schrödinger equation that is an important equation in mathematical phsysics. Various
exact solution methods are introduced and the exact solutions of the nonlinear
Schrödinger equation are verified via these methods. The obtained solutions are
different from the known solutions of this equation.
