Düzgün çokyüzlülerin metrik geometriler ile ilişkileri üzerine

Abstract

Bu tezde, 3-boyutlu IR³ gerçel uzayında bazı düzgün çokyüzlüler ile metrik geometriler arasındaki ilişkiler verilmiştir. İlk bölümde, Platonik cisimler olarak adlandırılan düzgün konveks çokyüzlüler tanıtılmış, bunların ilk bulunuşundan günümüze kadar ki uygulamalarından bahsedilmiş ve sadece beş tane oldukları üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde, metrik geometri tanıtılmıştır. Birim küreleri düzgün altı yüzlü ve sekiz yüzlü olan maksimum ve taksi metriklerinin tanımları hatırlatılmıştır. Daha sonra birim küresi on iki yüzlü ve yirmi yüzlü olacak şekildeki uzaklık fonksiyonları ilk defa tanımlanmış ve metrik oldukları ispatlanmıştır. Böylece Platonik cisimler ile metrik geometrilerin ilişkisi geliştirilmiştir. Ayrıca üzerinde çalışılan metriklerin, Öklid ve m – metrikleri arasındaki geçiş bağıntıları verilmiştir. Üçüncü bölümde, birim küreleri Platonik cisimlerden altı yüzlü, on iki yüzlü ve yirmi yüzlü olan metrikler ile donatılmış IR³ ün bu metriklere göre izometri grupları analitik bir yöntemle belirlenmiştir.

In this thesis, the relations between the metric geometries and regular polyhedra are given in the 3-dimensional analytic space. In the first chapter, regular convex polyhedra called Platonic solids are introduced. Then, the applications of Platonic solid are explained, and it is shown that there are only five Platonic solids. In the second chapter, the metric geometry is introduced. Later, it is reminded definitions of maximum and taxicab the metrics of which unit spheres are hexahedron and octahedron, respectively. The distance functions of which unit spheres are dodecahedron and icosahedron are defined. It is proved that distance functions are metrics. Thus the relations between the metric geometries and Platonic solids are developed. Also, the relations between these metrics and Euclidean metric are given. Similary, the relation is given for m-metric. In the last chapter, isometry group of IR³ furnished by metrics of which unit spheres are the hexahedron, dodecahedron and icosahedron are analytically found.