Lineer olmayan oluşum denklemleri, bilimin birçok alanında ortaya çıkan
problemlerin matematiksel modelleridir. Son yıllarda oluşum denklemleri, uygulamalı
matematikte önemli bir çalışma alanı olmuştur. Şimdiye kadar, bu denklemler için
integrallenebilirlik ve tam çözümleri içeren birçok metot geliştirilmiştir.
Bu tez, lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm yöntemleri ve bir
pertürbasyon (bozulma) metodu olarak bilinen çok ölçekli açılım metodu ile ilgilidir. İlk
olarak, tezin içeriğinde sıklıkla kullanılan kısmi diferensiyel denklem, oluşum denklemi,
integrallenebilirlik, ardıştırma operatörü, pertürbasyon metodu, yayılma bağıntısı ve tam
çözüm gibi önemli kavramlar verilmiştir. Bu tanımların ardından, iyi bilinen lineer
olmayan oluşum denklemlerinden, Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, lineer olmayan
Schrödinger (NLS) denklemi ve yüksek mertebeden KdV tipi denklemler kısaca
tanıtılmıştır.
İlerleyen bölümlerde, çok ölçekli açılım metodu adım adım açıklanmıştır. Bu yolla,
integrallenebilir yüksek mertebeden KdV tipi denklemlerden, integrallenebilir NLS tipi
denklemler türetilmiştir. Aynı zamanda bu metotla, yüksek mertebeden KdV tipi
denklemler için yaklaşık çözümler elde edilmiştir.
Son olarak lineer olmayan oluşum denklemleri için tanh metodu, (G′/G) açılım
metodu, (G′/G, 1/G) açılım metodu, genelleştirilmiş en basit denklem (SEM) metodu,
(1/G′) açılım metodu, kısa açılımların değişimi (MTEM) metodu ve fonksiyonel değişken
metodu gibi tam çözüm yöntemleri detaylarıyla açıklanmıştır. Bu metotları kullanarak
yüksek mertebeden KdV tipi denklemler için farklı tipte tam çözümler elde edilmiştir.
Nonlinear evolution equations are the mathematical models of problems that arise
in many field of science. In recent years, evolution equations has become an important
field of study in applied mathematics. So far, a lot of methods include integrability and
exact solutions have been devoloped for these equations.
This thesis relate to exact solution methods and multiple scale method which is
known as a perturbation method for nonlinear evolution equations. Initially, some
important descriptions widely used in the concept of the thesis such as partial differential
equation, evolution equation, dispersion relation, integrability, recursion operator,
perturbation method and exact solution have been given. After these descriptions, the well
known nonlinear evolution equations, Korteweg de Vries (KdV) equation, nonlinear
Schrödinger (NLS) equation and high order KdV type equations are introduced briefly.
In following parts, multiple scale method has been explained step by step. By this
way, integrable NLS type equations has been derived from integrable high order KdV type
equtions. Also, approximate solutions have been obtained for the high order KdV type
equations by this method.
Finally, the exact solution methods like tanh method, (G′/G) expansion method,
(G′/G, 1/G) expansion method, extended simplest equation method (SEM), (1/G′)
expansion method, the modification of the truncated expansion (MTEM) method and
functional variable method have been explained for the nonlinear evolution equations in
detail. By using these methods, exact solutions in different types have been obtained for
the high order KdV type equations.
