Lineer uzaylar, üzerinde bulunma geometrisinin temel objeleridir. Projektif ve
afin uzaylar lineer uzayların en belirgin örneklerindendir. Bunların bilinen birçok
karakterizasyonu vardır. F.Buekenhout ve P. Cameron tarafından bazı
karakterizasyonlar yapılmıştır. Yeni bir karakterizasyon olarak Biondi ve Durante
tarafından da afin 3-uzaylar düzlemsel uzaylar olarak karakterize edilmiştir. Düzlemsel
uzayların en belirgin örnekleri projektif ve afin uzaylardır. Düzlemsel uzaylarda
projektif ve afin uzayların birçok karakterizasyonu elde edilmiştir. Örneğin Veblen-
Young tarafından yapılan karakterizasyonda eğer bütün düzlemler projektif düzlem ise
projektif uzay elde edilmekte veya bütün düzlemler afin düzlemler ve doğrularında
mertebesi en azından 4 ise afin uzay elde edilmektedir.
Biz bu tezde yeni örnekler ve çalışmalarla afin3-uzayları düzlemsel uzaylar
olarak karakterize ettik.
İlk bölümde, bir sonraki bölümde gerekli olan bazı tanım ve teoremler
verilmiştir; ilk olarak lineer uzaylarla ve ikinci olarak da afin ve projektif uzaylarla
ilgili tanım ve teoremler verilmiştir.
İkinci bölümde ilk olarak düzlemsel lineer uzaylarla ilgili temel sonuçlar
verilmiştir. İkinci olarak sonlu 3 boyutlu afin uzayları
(1) Her doğrusu n 2 olmak üzere n noktalı
(2) Doğrudaş olmayan her nokta üçlüsü nın bir tek elemanı içinde
(3) nın elemanlarının çakışık ya da ayrık olması üzerinde bir denklik
bağıntısıdır. Her denklik sınıfı bütün noktalarını kapsayan bir denklik
bağıntısıdır.
özelliklerine sahip has alt uzaylarının kümesi ile belirli lineer uzaylar olarak
karakterize edildi.
Daha sonra bu sonuç en az üç boyutlu ve en az 3 doğru dereceli bütün afin uzayların
karakterizasyonlarına genelleştirildi.
Linear spaces are the fundamental objects of the incidence geometry. Projective
and affine spaces are the prominent examples of linear spaces. They have been
extensively studied and a lot of characterizations are known. Some characterizations
were done by F.Buekenhout and P. Cameron. Affine 3-spaces were also characterized
as planar linear spaces by Biondi and Durante. The most prominent examples of planar
spaces are the projective and affine spaces. Many characterizations of projective and
affine spaces in terms of planar spaces have been obtained. For instance, if all planes are
projective planes, then we have a projective space or if all planes are affine planes and
lines have size at least four, then we have an affine space in the characterizations made
by Veblen-Young.
Affine 3-spaces are characterized as planar linear spaces by investigating
relations between affine 3-spaces and planar linear spaces in this thesis.
In the first chapter, some definitions and theorems needed in the next chapters
are given. First of all, some definitions and theorems about linear spaces and second
affine and projective spaces are given.
In the second chapter, main results about planar linear spaces are given. Second,
we characterize finite three-dimensional affine spaces as the only linear spaces endowed
with the set of proper subspaces having the properties
(1) Every line contains a constant number of points, say n , with n 2
(2) Every triple of noncollinear points is contained in a unique member of
(3) Disjoint or coincide is an equivalence relation in with the additional
property that every equivalence class covers all points.
We generalize our result in the case of dimension greater than three to obtain a
characterization of all finite affine spaces of dimension at least 3 with the lines of size at
least 3.