Bu tezde, B-spline kolokeyşin sonlu elemanlar metodu kullanılarak bazı kısmi
türevli diferensiyel denklem sistemlerinin sayısal çözümleri ile ilgilenilmiştir.
İlk bölümde, sonraki bölümlerde gerekli olan bazı tanımlar verilmiştir. İlk
olarak solitary ve soliton dalgaları hakkında kısa bir bilgi verilmiştir ve lineer olmayan
oluşum denklemleri, korunum kanunları, sonlu farklar ve sonlu elemanlar metotları
tanımlanmıştır. Spline fonksiyonlar kavramı verildikten sonra, kübik ve kuintik Bspline
fonksiyonları tanımlanmış ve elde edilmiştir. Son olarak sayısal çözümleri
araştırılacak olan, genelleştirilmiş lineer olmayan Schrödinger (GNLS), complex
modified Korteweg-de Vries (CMKdV) denklemleri ve Boussinesq sistemi tipi (BST)
denklem sistemi, test problemleri ile birlikte tanıtılmıştır.
İkinci bölümde, GNLS denklemi kübik ve kuintik B-spline kolokeyşin metotları
kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Solitary dalgaları ve iki soliton dalgasının
çarpışması durumlarının incelendiği iki test problemi, analitik çözüm ile önerilen sayısal
çözümleri kıyaslamak için kullanılmıştır.
Üçüncü bölümde, kuintik B-spline kolokeyşin metodu, CMKdV denkleminin
sayısal çözümü için kullanılmıştır. Önerilen metot, solitary ve iki solitary dalgasının
çarpışması test problemleri kullanılarak incelenmiştir.
Kuintik B-spline kolokeyşin metodu, dördüncü bölümde BST denklem
sisteminin sayısal çözümünü elde etmek için kullanılmıştır. İlerleyen dalgalar, iki
ilerleyen dalganın çarpışması ve solitary dalga test problemleri, metodun doğruluğunu
incelemek için kullanılmıştır.
Son bölümde ise önerilen metotlar hakkında sonuçlar verilmiştir.
This thesis deals with the numerical solution of some partial differential
equation systems by using B-spline finite element collocation method.
In the first chapter, some definitions needed in the next chapters are given. First,
a brief history for solitary and soliton waves are given and the nonlinear evolution
equation, conversation laws, the finite difference and the finite element methods are
described. After the concept of the spline functions is outlined, cubic B-spline and
quintic B-spline functions are described and are constructed. Finally, generalized
nonlinear Schrödinger (GNLS) equation, complex modified Korteweg-deVries
(CMKdV) equation and Boussinesq system type (BST) equation solved numerically in
the next chapters are introduced together with their test problems.
In the second chapter, the GNLS equation is solved numerically by using both
cubic and quintic B-spline collocation methods. Two test problems including solitary
waves and interaction of two soliton waves are used to compare between analytic and
proposed methods.
In the third chapter, quintic B-spline collocation method is used to solve the
CMKdV equation numerically. The proposed method is examined by using solitary and
interaction of two solitary waves test problems.
In the fourth chapter, quintic B-spline collocation method is designed to have
the numerical solution of the BST system of equations. Traveling waves, interaction of
two traveling waves and solitary wave test problems are used to demonstrate the
performance of the method.
In the last chapter a discussion about the proposed methods is given.
