The problems which have variables changes in the set of discrete values are represented by disrcete equations. Moreover, pure discrete and discrete evolution equations have applications in many science areas. This master thesis is a scientific work on the integrability of discrete evolution equations. Discretization is shown for both ordinary and partial differential equations by using finite difference method used with the Taylor’s expansion. What’s more, discretization of one and all of variables are given. However, a list of commonly used discrete evolutiıon equations is given. The integrability of discrete evolutiıon equations is studied with different methods. The concepts of discrete evolution equations, such as Lax pairs, integral of motion, Miura transformation and spectral problem, corresponding to the continuum form are given. Furthermore, derivation of discrete Korteweg-De-Vries equation from discrete forms of most famous Schrödinger equation, Schrödinger equation of third order, Coupled Schrödinger equation and Modified Schrödinger equation by using multiple scales method is shown. Exact solutions of integrable discrete Schrödinger equation and discrete KleinGordon equation are found by using the exponential function method which is used to find the exact solution of discrete evolution equations. As the continuation of this work, the derivation of other discrete evolution equations from another one with the aid of mulltiple scales method can be studied.
Kesikli değerler kümesinde değişen değişkenlere sahip problemler fark denklemleriyle modellenir. Ayrıca pür fark ve fark oluşum denklemlerinin birçok bilim dalında uygulamaları mevcuttur. Bu yüksek lisans tezi kapsamında da fark oluşum denklemlerinin integrallenebilirliği üzerine çalışılmıştır. Taylor seri açılımı kullanılarak uygulanan sonlu farklar metodu yardımıyla ayrıklaştırma işleminin nasıl yapıldığı adi ve kısmi türevli denklemler için ayrı ayrı gösterilmiş, değişkenlerin birinin veya tamamının ayrıklaştırılma işlemi verilmiştir. Ayrıca literatürde sıklıkla kullanılan fark denklemlerinin bir listesi verilmiştir. Fark oluşum denklemlerinin çeşitli yöntemlerle integrallenebilirliği incelenmiş, bu denklemlerin sürekli hallerinde incelenen Lax çifti, hareket integrali, Miura dönüşümleri, Spektral problem gibi kavramların fark halindeki karşılıkları verilmiştir. Bunlara ek olarak en çok bilinen Schrödinger denklemi, 3. Mertebeden Schrödinger fark, Kuple Schrödinger fark ve Modifiye Schrödinger fark denklemlerinden çok ölçekli açılım metodu ile Korteweg-de-Vries tipi fark denklemleri elde edilmiştir. Fark oluşum denklemlerinin tam çözümlerini bulmak için geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu kullanılarak integrallenebilir Schrödinger fark denklemi ile KleinGordon fark denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca bu çalışmaların devamı olarak çeşitli fark oluşum denklemlerinden diğer oluşum denklemlerinin çok ölçekli açılım metodu ile elde edilebilirliği incelenebilir.
