Crossed modules were invented by J.H.C. Whitehead [8] in his work on combinatorial
homotopy theory. They have since found importent roles in many areas of mathematics
including homotopy theory, homology and cohomology of groups, algebraic K-theory,
cyclic homology, combinatorial group theory and differential geometry. Possibly crossed
modules should now be considered one of the fundamental algebraic structures.
This master thesis consists of three chapters. In the first chapter we recall soma basic
notions and examples about homotopy theory. In the following chapter, homotopy groups
are examined detailed. In the last chapter, the notion of crossed module is given and
fundamental crossed modules over groups are examined. Then the notion of fundamental
crossed square is given and fundamental crossed square example is examined.
C¸ aprazlanmı¸s mod¨ul kavramı, J.H.C. Whitehead tarafından tanımlanmı¸stır.
Whitehead, ¨ozellikle relatif homotopi gruplarının cebirsel yapıları ¨uzerine yaptı˘gı
¸calı¸smasında ¸caprazlanmı¸s mod¨ullere yer vermi¸stir. C¸ aprazlanmı¸s mod¨uller
temel cebirsel yapılardan biri olarak incelenebilir. C¸ aprazlanmı¸s mod¨ullerin
homotopi teorisi gruplar ¨uzerinde homoloji ve kohomoloji, cebirsel K-teori, de virli homoloji, kombinat¨or grup teori ve diferensiyel geometri dahil olmak ¨uzere
matemati˘gin bir ¸cok alanında ¨onemli rol¨u vardır.
Bu tez ¨u¸c b¨ol¨umden olu¸smaktadır. ˙Ilk b¨ol¨umde, homotopi teori ile ilgili bazı
temel kavramlara ve ¨orneklere yer verilmi¸stir. ˙Ikinci b¨ol¨umde homotopi grupları
detaylı bir ¸sekilde incelenmi¸stir. Son b¨ol¨umde ise, ¸caprazlanmı¸s mod¨ul tanımı
verilerek, gruplar ¨uzerinde tanımlanmı¸s olan Temel ¸caprazlanmı¸s mod¨uller in celenmi¸stir. Daha sonra ¸caprazlanmı¸s kare tanımlanmı¸s ve sonu¸c olarak temel
¸caprazlanmı¸s kare rne˘gi incelenmi¸stir.