Bu çalışmanın amacı, düzlemdeki izoperimetrik teoremin ispatında yer alan
çemberin sahip olduğu özelliğin, üç boyutlu uzaydaki izoperimetrik teoremi ifade
ederek küre için geçerli olduğunu göstermeye çalışmaktır.
Tezin birinci ve ikinci bölümlerde, izoperimetrik teoremin tanımı ve tarihçesi
verildi. Teorem kısaca şu şekilde ifade edilebilir:
“Aynı çevreye sahip tüm düzlemsel şekiller arasında en büyük alana sahip olan
çemberdir”.
Üçüncü bölümde, düzlemde izoperimetrik teoremin bazı farklı ispatları verildi.
Buna göre, L düzlemde kapalı bir eğrinin çevresi, A da eğri tarafından çevrelenen
bölgenin alanı olmak üzere,
2
4
L
A
≥ π dir. Eşitlik ancak kapalı eğrinin çember olması
durumunda geçerlidir.
Dördüncü bölüm de, Steiner - Simetrileştirme metodunu kullanarak uzayda
izoperimetrik teoremin ispatı verildi. Buna göre, V uzay da verilen cismin hacmi, O
yüzey alanı olmak üzere
3
2
36 O
V
≥ π dir.
Beşinci bölüm de ise karşılaştırma metodu adını verdiğimiz yöntemle,
düzlemde kapalı eğriler için ispat, üç boyutlu uzayda verilmiştir. Özetle,
, , , , O O O O O Küre A B Küp E sırasıyla Kürenin, Düzgün Altıgen prizmanın, Düzgün Beşgen
prizmanın, Küpün ve Eşkenarüçgen prizmanın yüzey alanları olmak üzere;
diğer taraftan, , , , , V V V V V E Küp B A Küre sırasıyla Eşkenarüçgen prizmanın, Küpün,
Düzgün Beşgen prizmanın, Düzgün Altıgen prizmanın, Kürenin hacimleri olmak üzere
O O O O O Küre A B Küp E < < < <
ve
V V V V V E Küp B A Küre < < < <
sıralaması vardır.
The purpose of this thesis is to discuss the isoperimetric theorem in the three
dimensional space. We will consider the circle in the plane and try to find out whether
the sphere has the same role in three space.
In the first and second chapter of thesis, we gave the definition and the history of
isoperimetric theorem. We can define the theorem as follows:
“Among all planer shapes with the same perimeter the circle has the maximum
area ”.
In the third chapter, we discussed different proves of the theorem in the plane.
Let L be the perimeter (of a closed ) curve in the plane and A be the area, then
2
4
L
A
≥ π with equality holds iff the curve is a circle.
In the fourth chapter, we discussed the proof of theorem in surface by Steiner –
Symmetrization.
In this case, the theorem can be stated as
3
2
36 O
V
≥ π , where V is the volume and
O is the surface area of the solid.
Finally, in the fifth chapter, we gave our new proof, named by “Comparison
method”.
As a result, we obtained the following order:
O O O O O Sphere A B Cube E < < < <
also
V V V V V E Cube B A Sphere < < < <
where , , , , O O O O O Sphere A B Cube E are the surface area of sphere, hexagonal prism,
pentagonal prism, cube, triangular prism, respectively. Also, , , , , V V V V V E cube B A sphere are
the volume of triangular prism, cube, pentagonal prism, hexagonal prism, sphere,
respectively.