Bu Doktora tezi dokuz bölümden oluşmaktadır. Bu tez çalışmasında, doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denkleminin sayısal çözümleri, zaman ayrıştırması için Crank Nicolson yöntemine ve konum ayrıştırması için kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik trigonometrik B-spline fonksiyonlarına dayanan Galerkin sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Birinci bölümde, tez hakkında genel bilgi verilmiştir. Tezin kapsamı ve amacı da açıklanmıştır. İkinci bölümde, NLS denkleminin sayısal çözümü ve trigonometrik B-spline fonksiyonlarına yönelik bazı eski çalışmalar incelenmiştir. Üçüncü bölümde, NLS denkleminin sayısal çözümü için kullanılacak bazı temel terimler, Crank Nicolson ve Galerkin yöntemleri anlatılmıştır. Daha sonra trigonometrik Bspline fonksiyonlarının genel özellikleri verilmiştir. Sonrasında başlangıç ve sınır koşulları ile birlikte NLS denklemi verilerek soliton dalgasının hareketi ve iki soliton dalgasının çarpışması test problemleri tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde NLS denklemi, iç lineerleştirme ve Rubin-Graves lineerleştirmesi olmak üzere iki farklı lineerleştirme tekniğiyle kuadratik trigonometrik B-spline Galerkin yöntemi kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerde ise sırasıyla kübik, kuartik ve kuintik fonksiyonlar kullanılmıştır. Her bölümde test problemleri kullanılarak önerilen yöntemlerin doğruluğu incelenmiştir. Son iki bölümde, sunulan yöntemler ile elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Ek olarak, gelecekteki çalışmalar için bazı önerilerde bulunulmuştur.
This Ph.D. thesis consists of nine chapters. In this thesis, numerical solutions of Nonlinear Schrödinger (NLS) equation are obtained using Galerkin finite element method, based on Crank Nicolson method for time discretization and quadratic, cubic, quartic and quintic trigonometric B-spline functions for the space discretization. In the first chapter, general information of the thesis is given. The scope and purpose of the thesis are also explained. In the second chapter, some earlies studies for numerical solution of the NLS equation and trigonometric B-spline functions are investigated. In the third chapter, some basis terms and Crank Nicolson and Galerkin methods which will be used for of numerical solution of the NLS equation are mentioned. Then general properties of the trigonometric B-spline functions are given. Afterwards NLS equation together with initial and boundary conditions is investigated and test problems including propogation of soliton and interaction of two solitons are given. In the fourth chapter NLS equation is solved numerically by using quadratic trigonometric B-spline Galerkin method for two different linearisation techniques which are inner iteration and Rubin Graves iteration. Same methods implemented in fifth, sixth and seventh chapters by using cubic, quartic, and quintic functions respectively. In each chapter, the accuracy of the present method is investigated by using the test problems. In the last two chapters, the results of the presented methods are given and discussed. Additionally, some suggestions are given for future studies.
