Kısmi diferensiyel denklemlerin simetrileri ve çözümler

Abstract

Bu yüksek lisans tez çalışmasında; Lie nokta simetri metoduyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi. Lineer ve lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin verilen Lie grup dönüşümleri altında uzatımları (prolongasyonları) hesaplanarak sonsuz küçük simetri ¨ ureteçleri bulundu. Bulunan bu sonsuz küçük simetri üreteçlerinin Lie cebiri yapısı oluşturup oluşturmadığına bakıldı. Daha sonra alınan (1+1)-boyutlu kısmi diferensiyel denklemler, sonsuz küçük simetri üreteci yardımıyla adi diferensiyel denklemlere indirgemeleri yapılarak çözüldüğü. (2+1)-boyutlu kısmi diferensiyel denklemler ise sonsuz küçük simetri üreteçlerinin oluşturduğu iki-boyutlu alt cebirler yardımıyla ilk önce (1+1)-boyutlu kısmi diferensiyel denklemlere indirgendi, daha sonra sonsuz küçük simetri üreteci yardımıylada adi diferensiyel denklemlere indirgenerek tam çözümleri bulundu. Sonuc¸ olarak Lie nokta simetri metodu bağlamında incelenen ısı iletim denklemi, Burger denklemi, Hanging Chain denklemi, Bond Pricing denklemi ve lineer olmayan dalga denklemi kısmi diferensiyel denklemlerin uygulamada sıkça karşılaşılan örnekleri üzerinde duruldu.

Inthismasterthesis,themethodofLiepointsymmetrywereconsidered. Basicdefinitions and theorems were given for the application of this method. Prolongations of any given partial differential equations were calculated and infinitesimal symmetry generator were found. The infinitesimal symmetry generators were checked it whether compose Lie algebra structure. Using these symmetry generators, (1+1)-dimensional partial differential equations were reduced into ordinary differential equations and solutions of ordinary differential equations were found. (2+1)-dimensional partial differential equations firstly were reduced (1+1)- dimensional partial differential equations with the help of two-dimensional subalgebra which consist of infinitesimal symmerty generators. Then with the help of infinitesimal symmetry generators reduced (1+1)-dimensional partial differential equations were again reduced to ordinary differential equations. After that the exact solution of these reduced ordinary differential equations were found. As a result, frequently encountered in practice examples of the heat equation, the Burger equation,theHangingChainequation,theBondPricingequation,andnon-linearwaveequation are investigated in terms of Lie point symmetry method were studied.