Lineer olmayan kısmi türevli diferensiyel denklemlerin taylor-kollokasyon ve taylor-galerkin yöntemleri ile sayısal çözümleri

Abstract

Bu tez çalışmasında, birçok fiziksel olayı modellemek için kullanılan bazı lineer olmayan kısmi türevli diferensiyel denklemlerin sayısal çözümlerinin elde edilmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda, Adveksiyon-difüzyon, Burger ve Korteweg-de Vries (KdV) denklemlerinin yaklaşık çözümleri yaygın olarak kullanılan sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilmiştir. Sayısal yöntemin uygulanışında, ilk olarak Taylor seri açılımı kullanılarak diferensiyel denklemlerin zaman ayrıştırması yapılmıştır. Zamana göre ayrıştırılan bu denklemlerin konum ayrıştırması için, denklemlerin çözüm bölgeleri eşit uzunluklu alt aralıklara bölünmüş ve taban fonksiyonları olarak kuadratik, kübik ve kuintik B-spline taban foksiyonları kullanılarak Galerkin ve kollokasyon sonlu eleman metotları uygulanmıştır. Yukarıda bahsedilen diferensiyel denklemlerin, zaman ve konum ayrıştırılması ile elde edilen cebirsel denklem sistemlerinin çözümü, Thomas algoritmaları kullanılarak bulunmuştur. Farklı derecelerdeki B-spline fonksiyonlarının kullanımı ile elde edilen sayısal yöntemler, farklı problemler üzerinde test edilmiştir. Sayısal hatalar 2 L ve ∞ L hata normları ile gösterilmiştir. Uygulanan sayısal metotlardan elde edilen fark denklemlerinin kararlılık analizleri von Neumann yöntemi ile yapılmıştır. Sayısal metotlardan elde edilen çözümler, gerek birbirileri ile gerekse de literatürde yer alan diğer bazı çalışmalarla karşılaştırılarak, önerilen yöntemlerin avantaj ve dezavantajları tartışılmıştır.

The main purpose of this thesis is to obtain the numerical solutions of some nonlinear partial differential equations which are modelled for a quantitative description of physical phenomena. For this purpose, the finite element method that is used widely in numerical solutions of differential equations is employed by dealing with Advectiondiffusion, Burger and Korteweg-de Vries (KdV) equations. In the application of the numerical method, firstly, the time discretization of the equations is achieved by using Taylor’s expansion. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is considered for the space discretization. Then the finite element methods of Galerkin and collocation are applied on the time- discreted equation system respectively. In the solution of these equations, quadratic, cubic and quintic B-spline functions are chosen as the basis functions and system of equations was obtained. The Thomas algorithms are used for the solutions of the these systems. The present methods given by the usage of B-splines in several degrees are tested on different problems. The errors of numerical methods are shown by 2 L and ∞ L error norms. Stability of finite-difference equations which is obtained from numerical methods is implemented by using the von Neumann method. In addition, the obtained results are both compared with each other and some other works from the literature. Then the advantages and the disadvantages of the present methods are discussed.