2-Profinite gruplar

Abstract

Bir profinite grup, genel olarak Hausdorff, kompakt ve tamamen ba˘glantısız olan bir topolojik grup olarak ifade edilir. Buna denk olarak, ayrık sonlu grupların bir ters sisteminin ters limitine izomorf olan bir topolojik gruba profinite grup denir. Kategori teorisi; matematiksel yapılar ve bunlar arasındaki ili¸skilerle soyut olarak il gilenen bir matematik dalıdır. Bir kategori, birbirleriyle ili¸skili olan objeler sınıfı (¨orne˘gin; gruplar) ve bu objeler arasındaki morfizmlerden olu¸sur. Gruplar ¨orne˘ginde bu mor fizmler grup homomorfizmleridir. Bu ¸sekildeki farklı kategorileri funktorlar aracılı˘gı ile ili¸skilendirmek mu¨mku¨ndu¨r. Funktorlar, bir kategorinin her objesini di˘ger kategorinin bir objesi ile, ve bir kategorideki morfizmi di˘gerindeki bir morfizme ili¸skilendiren fonksiyon ların bir genelle¸stirilmesidir. Bu tezde objeleri profinite gruplar ve morfizmleri su¨rekli grup homomorfizmleri olan profinite grup kategorisi u¨zerinde ¸calı¸sılacaktır. Tezin birinci b¨olu¨mu¨nde tezin ana yapısı olan profinite gruplar tanıtıldı. ˙Ikinci b¨olu¨mde, kategori teorisi ile ilgili gerekli temel bilgiler verildikten sonra profinite gruplar kate gorisi incelendi. Bu kategori i¸cindeki internal kategori elde edilerek profinite ¸caprazlanm¸s modu¨ller ile olan ili¸skisi verildi. Tezin u¨¸cu¨ncu¨ b¨olu¨mu¨nde ise 2-boyutlu kategori olarak da ifade edilen 2- kategori ve bunun ¨ozel hali olan 2-grup kavramları tanıtılarak 2-profinite grup yapısı tanımlandı. Ayrıca, grup, cebir, lie cebiri gibi cebirsel yapılara benzer ¸sekilde profinite gruplar i¸cin tanımlanan 2- profinite grubun profinite grupların ¸caprazlanmı¸s modu¨lu¨ne ve profinite cat-1 grubuna denk oldu˘gu g¨osterildi.