Lie cebirlerin kuadratik modüllerinin noktasal homotopi teorisi

Abstract

Bu tezde amacımız Lie cebirlerin kuadratik modül morfizmlerinin noktasal homotopilerini tanımlamak ve bu kavramı kullanarak bir gruboid yapısı inşa etmektir. Bunun için öncelikle gerekli temel kavramlara ver verilerek, bazı tanımlamaların ve ispatların daha kolay işlemsiz bir şekilde yapılabilmesi için herhangi bir kuadratik modül üzerinde 1-, 2- ve 3- simpleks olarak adlandırılacak olan yeni cebirsel yapılar ve bunların geometrik gösterimleri oluşturulmuştur. Daha sonra Lie cebirlerin çaprazlanmış modül morfizmlerinin homotopilerine ve bunlar sayesinde oluşturulan gruboid yapısına yer verilmiştir. Problemin Lie cebirler üzerinde kuadratik modül yapısı için çözümünün benzer olmadığı gözlenmiştir. Kuadratik modül morfizmleri için bir homotopi bağıntısı tanımlanmış, kısıtlanmış durumda bunun bir denklik bağıntısı olduğu kanıtlanmıştır. Sonuç olarak bu kısıtlamayla beraber bir gruboid yapısı elde edilmiştir.

Our aim in this thesis is to define pointed homotopy of quadratic module morphism of Lie algebras and to construct the groupoid structure using this concept. For this, firstly we recall the fundamental notions and construct algebraic structures called 1-, 2- and 3- simplex in a quadratic module. Secondly, the homotopies of the crossed module morphisms of Lie algebras and the groupoid structure constructed by them are mentioned. It is observed that the solution of problem for quadratic module of Lie algebras isn’t similar. We construct for maps of quadratic modules a homotopy relation, and prove that it yields an equivalence relation in restricted cases (freeness up to order one of the domain quadratic module). Finally we get a groupoid structure for quadratic modules morphisms in restricted case.