Lineer olmayan denklemlerin çok ölçekli açılım metodu ile çözümleri

Abstract

Lineer olmayan oluşum denklemleri, bilimin birçok alanında ortaya çıkan problemlerin matemetiksel modelleridir. Bu tür denklemler lineer ve lineer olmayan oluşum denklemleri olarak ikiye ayrılmaktadır. Son yıllarda oluşum denklemleri uygulamalı matematikte önemli bir çalışma alanı olmuştur. Bu tez çalışmasında, lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm yöntemi ve bir pertürbasyon (bozulma) metodu olarak adlandırılan çok ölçekli açılım metodu üzerine çalışılmıştır. Birinci bölümde, çalışılan konu ve tezin amacı hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, literatür araştırması yapılmıştır. Üçüncü bölümde ise tezde çalışılan temel kavramlar tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde, çok ölçekli açılım metodu açıklanmıştır. Bu metotla, integrallenebilir yüksek mertebeden KdV tipi denklemler, Sawada-Kotera denklemi, Kaup-Kupershmidt denklemi ve Caudrey-Dodd-Gibbon denkleminden, integrallenebilir NLS tipi denklemler ve bu denklemlerin yaklaşık çözümleri elde edilmiştir. Sonraki bölümde lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm yöntemlerinden (G’/G)-açılım yöntemi açıklanmıştır. Bu yöntemi kullanarak yüksek mertebeden KdV tipi denklem için tam çözüm elde edilmiştir. Son olarak “yöntem” başlığı altında kullanılan yöntemler açıklanmış “bulgular ve tartışma’’ başlığı altında yapılan çalışmalardan elde edilen çözümler verilmiş ve “sonuç ve öneriler” bölümünde elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır.

Nonlinear evolution equations are the mathematical models of problems that arise in many field of science. These equations are known as linear and nonlinear partial differential equations. In recent years, evolution equations has become an important field of study in applied mathematics. In this thesis, a scientific work on exact solution method and multiple scale method which is known as a perturbation method for nonlinear evolution equations. In the first chapter, both subject and aim of this thesis are mentioned. In the second chapter, some early studies are considered about the subject. In the third chapter, some definitions about needed in the next chapters are mentioned. In the fourth chapter, multiple scale method has been explained. By this method, integrable NLS type equations has been derived from integrable high order KdV type equations, Sawada-Kotera equation, Kaup-Kupershmidt equation and Caudrey-Dodd- Gibbon equation and approximate solutions have been obtained for these equations. The next chapters the exact solution methods like (G’/G)-expansion method have been explained for the nonlinear evolution equations. By using this method, exact solution have been obtained for the high order KdV type equation. Finally, the results obtained using these methods are compared.