Lineer olmayan oluşum denklemleri, bilimin birçok alanında ortaya çıkan
problemlerin matemetiksel modelleridir. Bu tür denklemler lineer ve lineer olmayan
oluşum denklemleri olarak ikiye ayrılmaktadır. Son yıllarda oluşum denklemleri
uygulamalı matematikte önemli bir çalışma alanı olmuştur.
Bu tez çalışmasında, lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm
yöntemi ve bir pertürbasyon (bozulma) metodu olarak adlandırılan çok ölçekli açılım
metodu üzerine çalışılmıştır. Birinci bölümde, çalışılan konu ve tezin amacı hakkında
bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, literatür araştırması yapılmıştır. Üçüncü bölümde ise
tezde çalışılan temel kavramlar tanıtılmıştır.
Dördüncü bölümde, çok ölçekli açılım metodu açıklanmıştır. Bu metotla,
integrallenebilir yüksek mertebeden KdV tipi denklemler, Sawada-Kotera denklemi,
Kaup-Kupershmidt denklemi ve Caudrey-Dodd-Gibbon denkleminden, integrallenebilir
NLS tipi denklemler ve bu denklemlerin yaklaşık çözümleri elde edilmiştir.
Sonraki bölümde lineer olmayan oluşum denklemleri için tam çözüm
yöntemlerinden (G’/G)-açılım yöntemi açıklanmıştır. Bu yöntemi kullanarak yüksek
mertebeden KdV tipi denklem için tam çözüm elde edilmiştir.
Son olarak “yöntem” başlığı altında kullanılan yöntemler açıklanmış “bulgular
ve tartışma’’ başlığı altında yapılan çalışmalardan elde edilen çözümler verilmiş ve
“sonuç ve öneriler” bölümünde elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır.
Nonlinear evolution equations are the mathematical models of problems that
arise in many field of science. These equations are known as linear and nonlinear partial
differential equations. In recent years, evolution equations has become an important
field of study in applied mathematics.
In this thesis, a scientific work on exact solution method and multiple scale
method which is known as a perturbation method for nonlinear evolution equations. In
the first chapter, both subject and aim of this thesis are mentioned. In the second
chapter, some early studies are considered about the subject. In the third chapter, some
definitions about needed in the next chapters are mentioned.
In the fourth chapter, multiple scale method has been explained. By this method,
integrable NLS type equations has been derived from integrable high order KdV type
equations, Sawada-Kotera equation, Kaup-Kupershmidt equation and Caudrey-Dodd-
Gibbon equation and approximate solutions have been obtained for these equations.
The next chapters the exact solution methods like (G’/G)-expansion method
have been explained for the nonlinear evolution equations. By using this method, exact
solution have been obtained for the high order KdV type equation.
Finally, the results obtained using these methods are compared.
