Diferensiyel denklemler, matematikte fonksiyonların bir veya birden çok
değişkene göre türevleri ile ilişkili denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve
ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferensiyel denklemler
kullanılarak ifade edilirler. Diferensiyel denklemlerde değişkenlere göre türevler tam
sayı olmakla birlikte kesirli de olabilirler. Kesir mertebeli diferensiyel denklemler,
diferensiyel denklemlere kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir
genellemesidir.
Lie grup dönüşümleri, Norveçli matematikçi Sophus Lie tarafından 19. yüzyılın
başlarında çalışılmaya başlanmış ve diferensiyel denklemlerin analizinde önemli bir
yere sahip olmuştur. 2007 yılında Nail Ibragimov herhangi bir diferensiyel denklem
sistemi için temel korunumluluk teoremini ispat etmiştir. Bu çalışmada, temel
korunumluluk teoremi yardımıyla korunumluluk kanunlarını hesaplamak için gerekli
olan Euler-Lagrange denklemleri, eşlenik denklem sistemlerinin bulunuşu ve gerekli
formüller verilmiştir. Daha sonra bu teorem kesir mertebeli diferensiyel denklemlere
uygulanmıştır.
Bu tez çalışmasında, diferensiyel denklemlerle ilgili temel bilgiler, kesir
mertebeli diferensiyel denklemler ile ilgili temel kavramlar ve kesir mertebeli türev
çeşitleri, Lie simetri üreteçlerinin nasıl bulunacağı, dönüşümlerin Lie grubu, simetri
üreteci altında indirgemeler, korunumluluk kanunlarının temel korunumluluk teoremi
yardımıyla nasıl bulunacağı verilmiştir.
Zaman kesir mertebeli Sawada-Kotera (SK) denklemi, zaman kesir mertebeli
Modified Korteweg-de Vries (mKdV) denklemi, lineer olmayan zaman kesir mertebeli
hiperbolik denklemi, zaman kesir mertebeli viscous Burgers denklemi için öncelikle Lie
simetri üreteçleri bulunmuştur, daha sonra Erdélyi-Kober fonksiyonları ve karakteristik
metot yardımıyla ayrı ayrı indirgeme işlemi yapılmıştır. Son olarak bütün denklemler
için korunumluluk kanunları temel korunumluluk teoremi ile elde edilmiştir.
Differential equations are equations related to derivatives of one or more
variables of functions in mathematics. In physics, chemistry, engineering, biology and
economics, mathematical models are often expressed using differential equations.
Derivatives can be fractional or integers in differential equations. Fractional differential
equations are a generalization obtained by applying fractional analysis to differential
equations.
Lie group transformations have been started by the Norwegian mathematician
Sophus Lie in the early 19th century and have an important place in the analysis of
differential equations. In 2007, Nail Ibragimov proved the fundamental conservation
theorem for any differential equation system. In this study, Euler-Lagrange equations
which are necessary to calculate the conservation laws with the help of fundamental
conservation theorem, existence of adjoint equation systems and necessary formulas are
given. Afterwards, this theorem is applied to time fractional differential equations.
In this thesis study, basic information about differential equations, basic
concepts related to fractional differential equations and fractional derivative types, how
to find Lie symmetry generators, Lie group of transformations, reductions under
symmetry generator, how conservation laws can be found with the help of fundamental
conservation theorem.
Lie symmetry generators were found for the time fractional Sawada-Kotera (SK)
equation, the time-fractional modified Korteweg-de Vries equation, the nonlinear timefractional
hyperbolic equation, the time-fractional viscous Burgers equation, then by the
Erdélyi-Kober functions and the characteristic method, the reduction process was
carried out separately. Finally, for all equations, the conservation laws were derived by
the fundamental conservation theorem.