Bu tez, yedi bölümden olusmaktadır. Ilk bölümde degismeli cebirler üzerinde
nil(n)-modüllerin tanımı verilip, çaprazlanmıs modüller kategorisinden nil(n)-
modüller kategorisine giden funktor tanımlanmıstır. Yine degismeli cebirler
üzerinde kuadratik modül tanımı verilmistir [34]. Ikinci bölümde alt kuadratik
modül, kuadratik ideal, bölüm kuadratik modül, kuadratik modüllerin direk
toplamı, kuadratik modüllerin çekirdegi gibi degismeli cebirlerde kuadratik
modüllerin bazı cebirsel özellikleri incelenmistir. Üçüncü bölümde geri çekme
nil(2)-modül ile geri çekme ve ileri itme kuadratik modül kavramlarına yer
verilmistir. Dördüncü bölümde kuadratik modüllerin kategoriksel özelliklerinden
bahsedilmistir. Kuadratik modüller kategorisinde objelerin çarpımı ve esçarpımı
olan kuadratik modüller olusturulmustur. Yine bu kategoride kuadratik modül
morfizmlerinin esitleyici ve esesitleyicilere sahip oldukları gösterilmistir. Sonuç
olarak kuadratik modüllerin limiti ve eslimitinin var oldugu görülmüstür.
Besinci bölümde degismeli cebirlerde 4-boyutlu kuadratik modül tanımı verilmis
ve 3-çaprazlanmıs modül kategorisinden 4-boyutlu kuadratik modüller
kategorisine giden funktor tanımlanmıstır. Benzer sekilde simplisel cebirler
kategorisinden 4-boyutlu kuadratik modüller kategorisine giden funktor elde
edilmistir. Altıncı bölümde degismeli cebirlerde homotopi baglantılı 4-tip ler
için cebirsel bir model olusturacak yeni bir kavram tanıtılmıs ve bu yapıya,
kuadratik 2-modül adı verilmistir. Daha sonra bu yapının 3-çaprazlanmıs
modül ve simplisel cebirler ile olan iliskileri incelenmistir. Son bölümde ise
homotopi kavramına deginilmistir. Kuadratik (2)-modül ve kuadratik (2)-
kompleks morfizmleri için homotopi tanımlanmıştır.
This thesis consists of seven chapters. In the first chapter, we give some
basic informations. We give the notion of nil(n)-modules of commutative algebras,
and we construct a functor from the category of crossed modules
to that of nil(n)-modules of commutative algebras. We give from [34] the
notion of quadratic module on commutative algebras and show that the category
of nil(2)-modules is a full subcategory of quadratic modules. In the
second chapter, we investigate some algebraic features of quadratic modules
such as subquadratic module, quadratic ideal, factor quadratic module, direct
sum of quadratic modules, kernel of quadratic modules etc. In the third
chapter, we explore notion of pullback nil(2)−modules, pullback and induced
quadratic modules. In the fourth chapter, some of the categorical features of
quadratic modules has been analyzed. We find the product and copropuct
objects within this category. We see the equilaser and coequilaser of morphisms
of quadratic modules exists. As a result we say that the category of
quadratic module of commutative algebras has a finite limit and a colimit.
In the fifth chapter, we introduce 4-dimensional quadratic modules of commutative
algebras and explore the relation between 3-crossed modules and
4-dimensional quadratic modules. We establish a new notion for homotopy
connected 4-types called quadratic 2-modules. We form a functor from the
category of 3-crossed modules to that of quadratic 2-modules and also from
simplicial algebras to quadratic 2-modules. In the last chapter, we give the
notion of homotopy for quadratic modules and quadratic complexes morfisms.
We define quadratic 2-complexes and similarly we find the homotopy for the
morphisms of quadratic 2-modules and quadratic 2-complexes.