Bu tezde, üstel kübik B-spline kolokeyşın metodu kullanılarak bazı kısmi diferensiyel
denklem sistemlerinin sayısal çözümleri araştırılmıştır. Kısmi diferensiyel denklem
sistemlerine Crank-Nicolson zaman ayrıştırması uygulanmış ve zaman ayrıştırılmış
sistemlerdeki lineer olmayan terimler için Taylor metodu kullanılarak lineerleştirilme
yapılmıştır. Zaman ayrıştırılmış sistemin konum ayrıştırması için üstel kübik B-spline
kolokeyşın metodu uygulanmış ve sistem, cebirsel denklem sistemine dönüştürülmüştür.
Böylece kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin üstel kübik B-spline kolokeyşın algoritması
tasarlanmış ve elde edilen sonuçlar, literatürdeki farklı metotlar ile elde edilen sonuçlarla
karşılaştırılarak algoritmanın deneysel doğruluğu tartışılmıştır. Üstel kübik B-spline
fonksiyonlarının serbest parametresi en iyi çözümü verecek şekilde belirlenmeye çalışılmıştır.
Farklı başlangıç koşulları uygulandığında oluşan çözümlerin mecvut fiziksel modelleri
gösterilmiştir.
Birinci bölümde sonlu farklar yaklaşımı, sonlu elemanlar metotları, B-spline
fonksiyonlar, üstel kübik B-spline kolokeyşın metodu, lineer olmayan oluşum denklemleri,
korunum kanunları ve soliton dalgaları tanıtılmıştır. İlerleyen bölümlerde ise lineer olmayan
Schrödinger denklemi, reaksiyon difüzyon denklem sistemi, ikili Burgers denklem sistemi ve
Boussinesq denklem sistemlerinin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Sayısal metodun
doğruluğu analitik çözümü bilinen problemler için maksimum hata normu ile, analitik çözümü
bilinmeyen problemler için ise bağıl hata ile gösterilmiştir.
In this study, numerical solutions of some partial differential equation systems using
exponential cubic B-spline collocation method are investigated. The systems are timediscretized
using the Crank-Nicolson method. The nonlinear terms in the time-discretized form
of the system are discretized by way of the Taylor method. The application of the exponential
B-spline collocation method to the time-discretized system gives the fully-discretized systems
which is an algebraic diagonal banded equation system. So an exponential cubic B-spline
collocation algorithm is designed for numerical solutions of the system of partial differential
equation. Experimental accuracy of algorithm is discussed with comparing obtained solutions
with the solutions existing in the literature. Free parameter of exponential cubic B-spline
functions is determined experimentally over the predefined interval to give best solution.
Obtained solutions of physical models are shown when different initial conditions are applied,
In the first chapter, the finite difference, the finite element methods, B-spline functions,
exponential cubic B-spline collocation method, nonlinear evolution equations, conversation
laws and soliton waves are described. In later chapters, the numerical solutions of nonlinear
Schrödinger equation, reaction-diffusion equation system, coupled Burgers’ equation and
Boussinesq eqaution system are obtained. The accuracy of numerical method is shown with
maximum error norm for when analytical solution is known and relative error norm for when
analytical solution is unknown.
