2-çaprazlanmış modül morfizmlerinin homotopisi

Abstract

Bu tezde öncelikle 2-çaprazlanmış modül morfizmlerinin (noktasal) homotopileri üzerinde durularak homotopi kavramı tanımlanacaktır. Ardından temeli model kategori yapısına dayanan sebepler dolayısıyla belirli kısıtlamalar kullanılarak bu homotopiler üzerinde bir denklik bağıntısı oluşturulacak, sonrasında da bu denklik bağıntısı yardımıyla bir gruboid yapısı elde edilecektir. Tezin geri kalan kısmında ise yukarıda bahsedilen mevcut problem bir boyut ileri taşınarak, 2-çaprazlanmış modül homomorfizmleri için 2-homotopilerin tanımlanması ve bu 2-homotopiler yardımıyla da bir 2-gruboid yapısı elde edilmesi üzerinde durulacaktır. Tüm bunların tanımlanabilmesi ve ispatların daha kolay işlemsiz bir şekilde tamamlanabilmesi için ise öncelikle herhangi bir 2-çaprazlanmış modül üzerinde 1-, 2- ve 3- simpleks olarak adlandırılacak olan yeni cebirsel yapılara ve bu yapıların geometrik gösterimlerine ihtiyaç duyulacaktır. Diğer yandan tabi ki 2-çaprazlanmış modülün bir alt basamağı olan çaprazlanmış modüller için de tüm mevcut problem öncelikli olarak ele alınacak ve çözüme kavuşturulacaktır. Ayrıca homotopi için "noktasal" teriminin nereden geldiği de çaprazlanmış modül morfizmleri için homotopi tanımı verildikten sonra detaylı olarak açıklanacaktır.

We address the (pointed) homotopy theory of 2-crossed modules of commutative algebras, which are equivalent to simplicial commutative algebras with Moore complex of length two. In particular, we construct for maps of 2-crossed modules a homotopy relation, and prove that it yields an equivalence relation in very unrestricted cases (freeness up to order one of the domain 2-crossed module). This latter condition strictly includes the case when the domain is cofibrant. Furthermore, we prove that this notion of homotopy yields a groupoid with objects being the 2-crossed module maps between two fixed 2-crossed modules (with free up to order one domain), the morphisms being the homotopies between 2-crossed module maps. Then, as the final part of the thesis, we address the 2-homotopy theory of 2-crossed modules of commutative algebras. In particular, we define the concept of 2-fold homotopy between a pair of 1-fold homotopies connecting 2-crossed module maps A !A0.We also prove that if the domain 2-crossed module A is free up to order one then we have a 2- groupoid of 2-crossed module maps A !A0 and their homotopies and 2-fold homotopies