Bu tezde öncelikle 2-çaprazlanmış modül morfizmlerinin (noktasal) homotopileri
üzerinde durularak homotopi kavramı tanımlanacaktır. Ardından temeli model kategori
yapısına dayanan sebepler dolayısıyla belirli kısıtlamalar kullanılarak bu homotopiler
üzerinde bir denklik bağıntısı oluşturulacak, sonrasında da bu denklik bağıntısı yardımıyla
bir gruboid yapısı elde edilecektir.
Tezin geri kalan kısmında ise yukarıda bahsedilen mevcut problem bir boyut ileri
taşınarak, 2-çaprazlanmış modül homomorfizmleri için 2-homotopilerin tanımlanması ve
bu 2-homotopiler yardımıyla da bir 2-gruboid yapısı elde edilmesi üzerinde durulacaktır.
Tüm bunların tanımlanabilmesi ve ispatların daha kolay işlemsiz bir şekilde tamamlanabilmesi
için ise öncelikle herhangi bir 2-çaprazlanmış modül üzerinde 1-, 2- ve 3-
simpleks olarak adlandırılacak olan yeni cebirsel yapılara ve bu yapıların geometrik gösterimlerine
ihtiyaç duyulacaktır. Diğer yandan tabi ki 2-çaprazlanmış modülün bir alt
basamağı olan çaprazlanmış modüller için de tüm mevcut problem öncelikli olarak ele
alınacak ve çözüme kavuşturulacaktır. Ayrıca homotopi için "noktasal" teriminin nereden
geldiği de çaprazlanmış modül morfizmleri için homotopi tanımı verildikten sonra detaylı
olarak açıklanacaktır.
We address the (pointed) homotopy theory of 2-crossed modules of commutative algebras,
which are equivalent to simplicial commutative algebras with Moore complex of
length two. In particular, we construct for maps of 2-crossed modules a homotopy relation,
and prove that it yields an equivalence relation in very unrestricted cases (freeness
up to order one of the domain 2-crossed module). This latter condition strictly includes
the case when the domain is cofibrant. Furthermore, we prove that this notion of homotopy
yields a groupoid with objects being the 2-crossed module maps between two fixed
2-crossed modules (with free up to order one domain), the morphisms being the homotopies
between 2-crossed module maps.
Then, as the final part of the thesis, we address the 2-homotopy theory of 2-crossed
modules of commutative algebras. In particular, we define the concept of 2-fold homotopy
between a pair of 1-fold homotopies connecting 2-crossed module maps A !A0.We also
prove that if the domain 2-crossed module A is free up to order one then we have a 2-
groupoid of 2-crossed module maps A !A0 and their homotopies and 2-fold homotopies