Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin elde edilmesi her zaman
mümkün olmamakla beraber daha çok bu tip denklemlerin integrallenebilirliği üzerinde
yoğunlaşılmıştır. İntegrallenebilirlik, yıllardır üzerine çalışılan, çeşitli problemlerle iç içe
ve eş zamanlı çözüm gerektiren, birçok alanda uygulaması bulunan bir kavramdır.
Literatürde, integrallenebilirlik üzerine yapılmış çok sayıda çalışma bulunmaktadır.
Bu tez çalışmasında, genel olarak lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin
uygun dönüşümler altında bilineer formları elde edildikten sonra, integrallenebilirliğini
gösteren kriterler ve dalga çözümleri araştırılmıştır. Bell polinomu yaklaşımı kullanılarak
(2+1) boyutlu BKP denklemi için bilineer form, Bäcklund dönüşümü, soliton çözüm, Lax
çifti ve korunum kanunları bulunurken, (2+1) boyutlu Burgers denklem sistemi için
bilineer form, soliton çözüm, Bäcklund dönüşümü ve Lax çifti elde edilmiştir.
Genelleştirilmiş bilineer türevler yardımıyla ifade edilen genelleştirilmiş bilineer
denklemlerin N-dalga çözümleri trigonometrik ve hiperbolik tipten elde edilmiş, bu
çözümler için gerek ve yeter şartları ihtiva eden teoremler verilmiştir. İlgili teoremlerin
daha iyi anlaşılması için uygulamalar yapılmıştır. Literatürde yeni bir çözüm tipi olarak
göze çarpan kompleksiton çözümler, Sawada Kotera ve dokuzuncu mertebeden KdV
denklemleri için elde edilmiştir.
It is not always possible to get solutions of nonlinear differential equations,
integrability of this kind of equations is concentrated on commonly. Integrabilty is a notion
that has been studied on for years, needs to be solved with some other problems
simultaneously and employed in many areas. There have been many works done on
integrability, in the literature.
In this dissertation, upon finding corresponding bilinear forms of nonlinear partial
differential equations under appropriate transformations, integrability criteria and wave
solutions have been investigated. Bilinear form, Bäcklund transformation, soliton solution,
Lax pair and conservation laws of (2+1) dimensional BKP equation and Bilinear form,
Bäcklund transformation, soliton solution, Lax pair of (2+1) dimensional coupled Burgers
system have been obtained by using Bell polynomial approach. N-wave solutions to
generalized bilinear equations which are expressed in terms of generalized bilinear
derivatives have been obtained in terms of hyperbolic and trigonomeric, theorems that
contain necessary and sufficient conditions for these solutions have been given. Some
applications have been made so that related theorems can be understood well. Complexiton
solutions, which has been introduced in the recent past, has been obtained for Sawada
Kotera and ninth order KdV equations.
