RLW denkleminin trigonometrik b-spline çözümleri

Abstract

Bu doktora tezi sekiz bölümden oluşmaktadır. Bu tezde RLW denkleminin sayısal çözümleri zaman parçalanması için iki ve üç adımlı Adams Moulton, konum parçalanması için ise kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik trigonometrik B-spline fonksiyonların kullanıldığı Galerkin sonlu elemanları yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Tezin kapsamı ve amacı ilk bölümde açıklanmıştır. İkinci bölümde, ilk olarak RLW denkleminin sayısal çözümü için daha önce yapılan bazı çalışmalardan bahsedilmiş, solitary ve soliton dalgalar ile ilgili kısa bir tarihçe verilmiştir. Sonrasında sonlu farklar, Crank-Nicolson ve Adams Moulton yöntemleri açıklanmıştır. Spline ve B-spline kavramları özetlendikten sonra kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik trigonometrik B-spline fonksiyonlar tanımlanmış ve elde edilmiştir. Sonlu elemanlar metodu ve RLW denkleminin sayısal çözümü araştırılırken kullanılacak olan Galerkin metodu açıklandıktan sonra son olarak sayısal çözümü araştırılacak olan RLW denklemi başlangıç ve sınır şartları ile birlikte tanıtılmıştır. Bu tezde trigonometrik B-spline sonlu elemanlar Galerkin yöntemi ile RLW denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Sonraki dört bölümde RLW denklemi sırasıyla, kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik B-spline fonksiyonlar kullanılarak Galerkin yöntemi ile sayısal olarak çözülmüştür. Her bir bölümde, solitary dalgasının hareketi ve iki solitary dalgasının çarpışması test problemleri kullanılarak önerilen sayısal yöntemin geçerliliği incelenmiştir. Son iki bölümde ise, önerilen yöntemlerle ilgili sonuçlar verilmiş ve tartışılmıştır. Ayrıca ileriki çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur.

This Ph.D. thesis consists of eight chapters. In this thesis, numerical solutions of Regularized Long Wave (RLW) equation are obtained using Galerkin finite element method, based on two and three steps Adams Moulton method for time discretization and quadratic, cubic, quartic and quintic trigonometric B-spline functions for the space discretization. The scope and purpose of the thesis are explained in the first chapter. In the second chapter firstly, some earlier studies for the numerical solution of the RLW equation are mentioned and then a brief history for solitary and soliton waves are given. Then finite difference, Crank-Nicolson and Adams Moulton methods are described. After the concept of the spline and B-spline functions is outlined, quadratic, cubic, quartic and quantic trigonometric B-spline functions are described and constructed. Later on, finite element methods and Galerkin method which will be used for the numerical solution for the RLW equation are explained. Finally, RLW equation solved numerically in the next chapters is introduced together with their test problems. In the next four chapters, regularized long wave (RLW) equation is solved numerically by using quadratic, cubic, quartic, quintic trigonometric B-spline Galerkin method, respectively. In each chapter, the efficiency of the present method is investigated by using motion of single solitary wave and interaction of two solitary waves test problems. In last two chapters, some results about the proposed methods are given and discussed. Furthermore, for the next studies suggestions are given.