Kısmi diferansiyel denklemler için korunumluluk kanunları

Abstract

Korunumluluk kanunları diferensiyel denklemlerin uygulamalarında, çözümünde, fiziğin tüm uygulamalarında önemli bir yere sahiptir. Bu yüksek lisans tezi kapsamında kısmi diferensiyel denklemler için korunumluluk kanunları üzerine çalışılmıştır. Öncelikle diferensiyel denklemlerle ilgili temel bilgiler, Lie simetri üreteçlerinin nasıl bulunacağı, dönüşümlerin Lie grubu ve bir boyutlu ısı denkleminin Lie simetri üreteçlerinin bulunuşu verilmiştir. 2007 yılında Nail Ibragimov herhangi bir diferensiyel denklem sistemi için temel korunumluluk teoremini ispat etmiştir. Temel korunumluluk teoremi yardımıyla korunumluluk kanunlarını hesaplamak için gerekli olan Euler-Lagrange denklemleri, eşlenik denklem sistemlerinin bulunuşu ve gerekli formüller verilmiştir. Daha sonra modifiye Korteweg-de Vries denkleminin korunumluluk kanunları bulunmuştur. Karşımıza sıkça çıkan fakat korunumluluk kanunları literatürde bulunmamış olan lineer olmayan reaksiyon denklemlerinin, Boussinessq-Burger denklem sisteminin, Burger Fisher denkleminin korunumluluk kanunları bulunmuştur. Ayrıca lineer olmayan reaksiyon denklemlerinin Lie simetrileri yardımıyla çözümleri hesaplanmıştır. Korunumluluk kanunlarını hesaplamak için doğrudan metot, Noether yaklaşımı, karakteristik metot, varyasyonel yaklaşım, diferensiyel denklemlerin çözümlerinin uzayında varyasyonel yaklaşım, simetri ve korunumluluk kanunu ilişkisi, kısmi Nother yaklaşımı, sistemler ve eşlenik sistemleri için Noether yaklaşımı kısaca anlatılmıştır. Son olarak lineer olmayan alan denkleminin korunumluluk kanunları verilen bütün yaklaşımlar ile bulunmuştur.

Conservation laws has important place for applications of differential equations and solutions, also in all physics applications. This master thesis is a scientific work on the consevation laws for partial differential equations. Firstly the information about differential equations, how to find the Lie symmetry generators, Lie group of transformations and Lie symmetry generators of one dimensional heat equation are given. In 2007, Nail Ibragimov has given the proof of the fundamental conservation theorem related to any system of differential equations. Necessary formulations, discovery of adjoint equations and Euler-Lagrange equations which is required to get the conservation laws via fundamental conservation theorem. Afterwards, the conservation laws of modified Korteweg-de Vries equation are handed. Commonly used nonlinear reaction equations which of conservation laws has not been found, such as Boussinessq-Burger and Burger Fisher equation, conservation laws of them are shown. Besides, the solutions of nonlinear reaction equations are derived by the aid of Lie symmetries. In order to find the conservation laws, direct method, Noether approach, characteristic method, variational approach, variational approach in the space of solutions of differential equations, the relation of symmetry and conservation law, partial Noether approach, Noether approach for pure and adjoint systems are briefly given. Finally, with the help of these approachs it is found conservation laws of nonlinear field equation.