Korunumluluk kanunları diferensiyel denklemlerin uygulamalarında,
çözümünde, fiziğin tüm uygulamalarında önemli bir yere sahiptir. Bu yüksek lisans tezi
kapsamında kısmi diferensiyel denklemler için korunumluluk kanunları üzerine
çalışılmıştır.
Öncelikle diferensiyel denklemlerle ilgili temel bilgiler, Lie simetri üreteçlerinin
nasıl bulunacağı, dönüşümlerin Lie grubu ve bir boyutlu ısı denkleminin Lie simetri
üreteçlerinin bulunuşu verilmiştir.
2007 yılında Nail Ibragimov herhangi bir diferensiyel denklem sistemi için
temel korunumluluk teoremini ispat etmiştir. Temel korunumluluk teoremi yardımıyla
korunumluluk kanunlarını hesaplamak için gerekli olan Euler-Lagrange denklemleri,
eşlenik denklem sistemlerinin bulunuşu ve gerekli formüller verilmiştir. Daha sonra
modifiye Korteweg-de Vries denkleminin korunumluluk kanunları bulunmuştur.
Karşımıza sıkça çıkan fakat korunumluluk kanunları literatürde bulunmamış
olan lineer olmayan reaksiyon denklemlerinin, Boussinessq-Burger denklem sisteminin,
Burger Fisher denkleminin korunumluluk kanunları bulunmuştur. Ayrıca lineer
olmayan reaksiyon denklemlerinin Lie simetrileri yardımıyla çözümleri hesaplanmıştır.
Korunumluluk kanunlarını hesaplamak için doğrudan metot, Noether yaklaşımı,
karakteristik metot, varyasyonel yaklaşım, diferensiyel denklemlerin çözümlerinin
uzayında varyasyonel yaklaşım, simetri ve korunumluluk kanunu ilişkisi, kısmi Nother
yaklaşımı, sistemler ve eşlenik sistemleri için Noether yaklaşımı kısaca anlatılmıştır.
Son olarak lineer olmayan alan denkleminin korunumluluk kanunları verilen bütün
yaklaşımlar ile bulunmuştur.
Conservation laws has important place for applications of differential equations
and solutions, also in all physics applications. This master thesis is a scientific work on
the consevation laws for partial differential equations.
Firstly the information about differential equations, how to find the Lie
symmetry generators, Lie group of transformations and Lie symmetry generators of one
dimensional heat equation are given.
In 2007, Nail Ibragimov has given the proof of the fundamental conservation
theorem related to any system of differential equations. Necessary formulations,
discovery of adjoint equations and Euler-Lagrange equations which is required to get
the conservation laws via fundamental conservation theorem. Afterwards, the
conservation laws of modified Korteweg-de Vries equation are handed.
Commonly used nonlinear reaction equations which of conservation laws has
not been found, such as Boussinessq-Burger and Burger Fisher equation, conservation
laws of them are shown. Besides, the solutions of nonlinear reaction equations are
derived by the aid of Lie symmetries.
In order to find the conservation laws, direct method, Noether approach,
characteristic method, variational approach, variational approach in the space of
solutions of differential equations, the relation of symmetry and conservation law,
partial Noether approach, Noether approach for pure and adjoint systems are briefly
given. Finally, with the help of these approachs it is found conservation laws of
nonlinear field equation.
